Hellman’s Mathematical Playground [Romanian]

Original in English by Martin E. Hellmen

Teren de joacă matematic lui Hellman

Această secţiune se află în construcţie şi va avea link-uri la lucrări şi prelegeri care încearcă să stimuleze rezultatele matematice accesibile pentru studenţii motivaţi la un nivel mult mai devreme decat în mod normal. Cu excepţia cazului în care se prevede altfel, tipic (nu AP) nivel de predare a matematicii în şcolii superioare este tot ce e necesar. Cu toate acestea, e foarte necesară motivația pentru a influenţa la învățămînt, în scopul de a înţelege matematica care de obicei nu se înțelege până la cursuri universitare de ultimii ani.

Eu am numit acest proiect ”Teren de joacă mathematic” pentru a încerca şi de a elimina sentimente grave care apar, de obicei, cu cunoștința cu astfel de materiale şi de a evita frica față e matematică prea multor oameni. Soția mea a spus de multe ori că studenţii vor găsi algebra mult mai puţin intimidantă dacă vom numi pe ea puzzle-uri de numere.

Cu această introducere, aici sunt disponibile în prezent link-uri:

Sfere în dimensiuni mari -

Spheres in high dimensions

Sfere în dimensiuni mari, partea 1

Problema pr care vom discuta aici este destinată pentru elevii de liceu motivați ​​sau adulți cu o înţelegere comparabilă a matematicii. Cu toate acestea, eu am folosit-o la facultatea mea pentru examen de calificare de doctorat.

Oare cum poate un elev de liceu spera sa înțeleagă o problemă care încape doar în minţile candidaţilor la doctorat din una dintre instituțiile de cercetare cele mai prestigioase din lume? Prin furnizarea mea multor procese mentale eu am aşteptat ca candidaţii la doctorat să prezinte explicația pe cont propriu.

Chiar şi cu acest ajutor, problema poate să vă confunde la început, în caz care am să vă încurajez să luați o pauză şi să reveniți înapoi atunci cînd vă veți odihni. Chiar mai bine, uniți-vă într-un grup de prieteni pentru a o revolva împreună. Am fost uimit de multe ori de modul în care un grup poate rezolva rapid problemă dificilă pe care fiecare elev individual găsește imposibilă.

Întorcându-ne la utilizarea mea de această problemă în examene noastre de calificare, deoarece diferiți elevi aleg diferite cursuri elective, eu încerc să nu pun întrebări care se bazează pe cunoştinţe specifice. Mai degrabă, caut întrebări cu care se testează abilitatea studentului de a face cercetări originale deoarece acesta este cel mai mare obstacol în studii de doctorat. Deci, aici e problema mea preferată de această natură:

Am o sferă din aur masiv cu o rază de 10, care este de valoare de un milion de dolari. Unitatea de lungime nu este nici incii sau centimetri sau orice altceva ce știți Dvs. Mai degrabă, a fost ales astfel încât o sferă din aur masiv cu o rază de 10 este în valoare de exact un milion de dolari.

Această sferă solidă este apoi împărţită în două bucăţi:

  • o sferă de rază interioară 9, şi

  • un înveliş exterior de grosime 1.

Puteţi avea fie o sferă de rază interioară 9 sau invelișul exterior de grosime 1. Care bucată vreți?

Alegerile Dvs. sunt prezentate mai jos într-o figură transversală desenată pe scară. Reţineţi că învelişul exterior are rază interioară 9 şi rază exterioră 10, astfel încât să se potrivească în jurul valorii a sferei interioare şi împreună să formeze o sferă solidă de rază 10.

Există o complicaţie în toate acestea: Dvs. nu trăiți într-o lume 3-dimensională. Mai degrabă, Dvs. şi sfera sunteți creaturi 100-dimensionale.

sphere

Sfera de aur masiv împărţit în O sferă interioară cu raza de 9 şi Un înveliş exterior de grosime 1

Ce-mi place în această problemă? este faptul că, la fel ca și în cercetările originale, ea aruncă elevul în haosul necunoscutului. Ce naiba este spaţiu 100-dimensional, cu atât mai puţin o sferă 100-dimensională? Dar, după cum veţi vedea, nu aveţi nevoie să aveți vre-o idee despre aceasta pentru a rezolva problema pusă.

Problema reală constă în aceea ce face elevul atunci când el se găseşte în teritoriu necunoscut, fără de a folosi indicatoarele? Îngheaţă el de teamă de a face un pas în "direcţia greşită"? Sau el are curajul de a face greşeli în încercarea de a răspunde şi de a înveţă de la paşii lui greşiţi? În cazul din urmă, paşii greşiţi oferă adesea indicii cu privire la abordarea de care este nevoie şi astfel nu există deloc paşi greşiţi.

Aproape toţi studenții care trec examenul meu au nevoie de un ajutor la început, cazul în care eu aş spune "OK, tu nu ştii cum să lucrezi cu această problemă. Există vreo problemă pe care ştii cum să rezolvi?" După aceasta majoritatea studenţilor ar spune că ei ştiau cum se rezolvă problema în trei dimensiuni, pe care le-aş încuraja să rezolve. Unul sau doi studenți cu adevărat excepţionali, ar putea începe fără ajutorul meu, spunând că nu au avut nici o idee cum să rezolve problema în 100 de dimensiuni, astfel, pentru a încerca să obţină unele idei pentru această problemă, ei aș nota această experiență, mai întîi lucrînd în 3-dimensiuni . Acest tip de gândire, şi curajul de îl urmează, este un indicator excelent al capacităţii de a face cercetare originală.

Cu sau fără ajutorul meu, după ce au fost pe această cale, activitatea lor ar proceda ceva de genul: volum de normal, 3-dimensionale sfera este

V = (4/3) π r 3

astfel încât sfera solida interioară cu raza de 9 are volumul

V (interior) = (4/3) π 9 3

Deoarece invelișul exterior a grosimii 1 constă dintr-o sferă de rază de 10 minus o sferă cu raza de 9 aceasta va avea volumul

V (shell) = [(4/3) π 10 3 ] – [(4/3) π 9 3 ]

Astfel, raportul de volume, şi raportul dintre valoarea de aur, este

V (shell)/V (inner) = {[(4/3) π 10 3 ] – [(4/3) π 9 3 ]}/[(4/3) π 9 3 ]

Factorii de [(4/3) π] pot fi anulate, rezultând în

V (shell)/V (inner) = (10 3 – 9 3 )/9 3

= (1000 – 729)/729

= 271/729 = 0.371742

la şase zecimale. Din moment ce acest raport este mai mic decât 1, învelişul exterior are volum mai mic, şi aur, decât sfera interioară, deci vom alege sfera interioară. Un puțină matematică va arăta că sfera interioară are 729.000 dolari în valoare de aur, în timp ce învelişul exterior este în valoare de 271.000 dolari.

În majoritatea cazurilor intuiția noastra, sau privirea la figura de mai sus, ar fi, de asemenea, aș spune nouă să luăm sfera interioară "mai mare". La urma urmei, învelișul este doar de grosime 1, în timp ce sfera interioară este din aur masiv de rază (grosime) 9. Dar, să vedem ce se întâmplă când încercăm să extindem activitatea noastră în trei dimensiuni spre originalul, problemă 100-dimensională.

Studentii care încearcă să resolve pe aceasta, de obicei, observă că, în 3 dimensiuni, raportul se reduce la

(10 3 – 9 3 )/9 3

Dar de unde apar trei cifre (10,9 şi 3)? 10 este raza sferei intregi, 9 este raza sferei interioare, şi 3 este dimensionalitatea. Deci, natural din 100 de dimensiuni că

(10 100 – 9 100 )/9 100

Cu puţin algebră, acest raport poate fi redusă la

(10/9) 100 – 1 100 = (10/9) 100 – 1

Evaluînd această expresie pe un calculator, am descoperit că din 100 de dimensiuni învelișul exterior are aproape 38000 de ori mai mult aur ca sfera interioară. Din nou, puţină matematică suplimentară poate găsi sumele reale în fiecare piesă. Sfera interioară are 26.56 dolari în valoare de aur, în timp ce învelişul exterior este în valoare de $ 999,973.44.

În timp ce fracţiunea minusculă de aur în sfera interioară ofensează intuiţia noastră, asta nu este atît de surprinzător. Trăim în 3 dimensiuni, nu, în 100. Când lucrăm asupra problemei, vom lua nişte experienţă în 2 dimensiuni, dar nu avem nici o experienţă care chiar aproximeaza ceea ce se întâmplă în 100 de dimensiuni. Deci, retrospectiv, este de înţeles că intuiţia noastră ne duce în rătăcire.

Acesta este un bun punct de oprire, dar pentru cei care doesc să afle despre această problemă un pic mai departe, pot să se ducă pe la partea 2 (Part 2 ) ori de câte ori sunteţi gata.

ok ok