The Mathematics of the Movie “21″ [Romanian]

Original in English by Jeff Moehlis

Matematica filmului "21"

de Jeff Moehlis

goat 21 car

Filmul "21" povestește despre studenţi din Universitatea de la Massachusetts care "numără cărțile" pentru a îmbunătăţi probabilitatea lor de a câştiga la cazinouri în jocul Blackjack. Deloc nu e surprinzator, că în acest film e o mulțime de matematică. Cea mai evidentă dovadă este ”numărare a cărţilor", care se bazează pe tehnicile publicată în cartea "Beat the Dealer" lui Edward O. Thorpe, în 1962. Discuţiile despre metoda şi matematica "numărării cărţilor" sunt descrise pe alte diverse site-uri. Cu acest site, puteţi afla despre alte idei matematice care apar în film. Sper că acest lucru va aduce plăcerea dvs. de film şi, probabil, va învaţă ceva matematică!


Seriile lui Fibonacci

cakes

În "21", atunci când Ben Campbell (jucat de Jim Sturgess) sărbătoreşte ziua sa de nastere, tortul spune

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Aceştia sunt primele cifre din seria lui Fibonacci, care au fost folosite ca un exemplu în lucrarea Liber Abaci, publicată în 1202 de Leonardo Fibonacci. Această serie este obţinută prin scrierea, mai întâi numerelor de "0, 1", apoi definind fiecare număr ulterior ca suma între două numere anterioare din serie. Astfel, al treilea număr din serie este 1 = 1 +0, al patrulea număr este de 2 = 1 +1, numărul cinci este 3 = 2 + 1, etc numărul următor de pe tort ar fi 21 = 13 8 , pentru ziua de naştere a lui Ben 21. Totul e clar? (Hmmm, dar "21" se referă la Blackjack sau la vârsta lui Ben?), Ben va trebui să aştepte până când el va avea 34 = 21 13 pentru urmatoarea sa "ziua sa de naștere Fibonacci".

Se poate de definit și alte serii lui Fibonacci, cu precizarea numerelor diferite, în primele două sloturi. De exemplu, seriile lui Fibonacci ce încep cu "2, 5" sunt următoarele

2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, …


Problema Monty Hall

goat

goat

car

Luaţi în considerare următoarele variaţie de runda finală a jocului clasic în emisiunea TV Să facem o ofertă (Let's Make A Deal):

Există trei uși, și in spatele uneia dintre ele este o maşină, în timp ce în spatele celorlalte sunt două capre. Dacă alegeţi uşa cu maşina în spatele acesteia, veți cîștiga mașina. Acum, să presupunem că alegeţi ușa nr. 1. Găzduitorul Monty Hall va deschide, apoi sau ușa 2 sau 3, în spatele căreia va fi o capră. (El ştie ce este în spatele fiecărei uşe, şi niciodată nu va deschide uşa cu mașina din spatele ei). Monty oferă acum posibilitatea de a alege: vrei să stai cu uşa 1, sau alegem alte uşi. Ce trebuie să faceţi? Sau nu contează?

O întrebare similară este pusă lui Ben Campbell (jucat de Jim Sturgess) de profesorul Micky Rosa (jucat de Kevin Spacey), în filmul "21". Fără ezitare, Ben răspunde la aceasta corect, care convinge profesorul Rosa, că Ben ar fi un plus bun pentru echipa lor "numărătorilor de cărţi". Înainte de a citi mai departe, încercaţi să răspundeți la această singuri.

Cineva rezolvă această problemă prin compararea probabilității a alegerilor mașinei dacă rămâi cu alegerea dvs. originală la probabilitatea de a alege mașina si daca ați schimba alegerea după ce Monty va deschide o ușă. Reţineţi că maşina are o probabilitate egală de 1 / 3 de a fi în spatele ușii 1, 2 sau 3.

În primul rând, să presupunem că strategia dvs. este să rămâneți cu alegerea dvs. originală a ușii 1. Apoi, puteţi câştiga numai în cazul în care maşina este în spatele uşei 1, astfel ca probabilitatea de a câştiga este de 1 / 3.

În continuare, să presupunem că strategia dvs. este de aschimba ușile. Acest caz înpărțim în trei:

În cazul în care maşina este în spatele uşei nr. 1, Monty va deschide sau ușa 2 sau 3 pentru a descoperi o capră. Alegeți altă ușă, 2 sau 3, şi în ambele cazuri nimeriți la o uşă cu o capră în spatele ei (amintiţi-vă, maşina este în spatele uşii 1).

În cazul în care maşina este în spatele uşii 2, Monty va deschide ușa 3. Acest lucru se datorează faptului că el deschide mereu o uşă cu o capră în spatele ei, şi el nu poate deschide uşa 1 pentru că a fost alegerea dvs. originală. Astfel, unica ușă ce ai posibilitatea să schimbi este ușa nr. 2, care este uşa cu mașina din spatele ei. Ding! Ați câştigat!

În cazul în care maşina este în spatele uşii 3, Monty va deschide ușa nr. 2. Acest lucru se datorează faptului că el deschide mereu o uşă cu o capră în spatele ei, şi el nu poate deschide uşa 1 pentru că a fost alegerea dvs. originală. Astfel, unica ușă ce ai posibilitatea să schimbi este ușa nr. 3, care este uşa cu mașina din spatele ei. Ding! Ați câştigat!

Deci, în cazul în care strategia dumneavoastra este de a schimba ușile, veţi câştiga 2 / 3 = 1 / 3 + 1 / 3 din timp. (Amintiţi-vă, probabilitatea 3 că maşina se află în spatele unei uşi speciale este de 1 /3.) Prin urmare, o strategie mai bună este de a schimba ușile – probabilităţile calculate indică faptul că sunteţi de două ori mai multe șanse de a câştiga dacă faceți acest lucru! Răspunsul corect lui Ben, în filmul "21" indică faptul că el este o persoană bună pentru " numărare de cărți". Nu numai că arată că el este inteligent, dar demonstrează de asemenea că îşi dă seama că este mai bine să meargă cu alegerea care maximizează probabilitatea de câştig. Această realizare este esenţială pentru succesul "numărprii de carduri" pentru Blackjack.

În 1990, o întrebare similară a apărut într-o scrisoare a lui Marilyn vos Savant, Adresaţi-vă lui Marilyn, o coloană în Parade (care vine în unele ziare de duminică). Marilyn a dat răspunsul corect, dar mulţi cititori (inclusiv profesori de matematică), cred că acest lucru a fost incorect. Deci, nu vă amărîți dacă ați greşit atunci când ați răspuns pentru sine. Dar acum stiți!


Metoda lui Newton-Raphson

S-ar putea să vă retrageți de la o clasă algebrică că soluţiile pentru a ecuatiei

quad2

sunt date de formula pătratică

quad2

Să presupunem în schimb că doriţi să găsiţi o valoare pentru x care rezolvă ecuaţia generală algebrică

f (x) = 0.

O astfel de valoare pentru x se numeşte rădăcină a lui f (x). Cu excepţia pentru alegerile speciale lui f (x), cum ar fi f(x) = a x2 + b x + c ca mai sus, nu se poate de găsit rădăcinile prin operaţii algebrice.

În filmul "21", profesorul Micky Rosa (jucat de Kevin Spacey) predă lecția privind metoda lui Newton-Raphson pentru a găsi rădăcinile de f (x). Acest lucru a fost dezvoltat independent de Isaac Newton şi Joseph Raphson în anii 1600. Ideea este de a face o ghicire pentru o rădăcină a ecuaţiei (să-i zicem x0), apoi pentru a utiliza această ghicire pentru a genera o valoare pentru x (să-i zicem x1), care este (sperăm), chiar mai aproape de rădăcină decât originalul ghicirii. Acest lucru se face prin tragere liniei tangente la functia f(x) at x=x0, şi luând x1 ca valoare pentru x în care această linie dreaptă trece prin zero.(Pentru cei dintre voi care ştiu calculul, veţi recunoaşte că această linie tangentă este determinată de derivata f (x).) Prin iterarea aceastei proceduri din și din nou cu x2, x3, etc,, (sperăm) că veți obţine valori care sunt aproximări la rădăcină mai bune. Eu tot spun "sperăm", deoarece metoda lui Newton-Raphson nu este întotdeauna de succes, deşi este mai probabilă dacă doriți să faceți o presupunere bună iniţială. Această figură ilustrează metoda:

newton

Această metodă a fost elaborată cu mult înainte de existarea a computerelor, dar se dovedeşte a fi ideală pentru punerea în aplicare pe un computer: se foloseşte o buclă pentru a genera valori succesive ale xn.


Numararea de Carti

O discuţie interesantă despre "numărare de cărți" pentru Blackjack este prezentată în acest articol Wikipedia – Wikipedia article .

ok ok