Watching Flies Fly: Kappatau Space Curves [Romanian]

Original publication

Cum muştele zboară: curbele spațiale kappatau

de Rudy Rucker
Departamentul de Matematică şi Informatică,
Universitatea de Stat din San Jose, San Jose CA 95192
rucker@mathcs.sjsu.edu

Copyright (C) Rudy Rucker 1999

Este interesant sa ma uit la muştele care zboară împrejur. Acestea lasă din urmă curbe în spaţiu, care sunt minunate și tridimensionale. Păsările tot zboară de-a lungul curbelor de spaţiu, dar coborîrea lor nu este tot așa de îndoită şi răsucită ca traectoriile muștelor.

Există oare un limbaj matematic pentru a vorbi despre formele de curbe în spaţiu? Sigur că există. Matematica este o ştiinţa de formă, şi matematicienii studiază întotdeauna natura pentru noi forme pentru a vorbi despre dînsele.

Din punct de vedere istoric, curbe spațiale au fost discutate de către matematicianul Alexis-Claude Clairaut într-o lucrare intitulată "Recherche sur les Courbes a Double Courbure", publicată în anul 1731 când Clairaut era în vîrsta de optsprezece ani [1]. Se spune că Clairaut că a fost un bărbat atrăgător, și el a fost o figură populară în societatea secolului al XVIII-lea în Paris.

Vorbind de "curbură dublă," Clairaut a însemnat că o cale prin spaţiu tridimensional poate să se întoarcă în două moduri independente. El s-a gîndit la o curbă în ceea ce priveşte previziunile sale pe umbra, spunînd despre podea şi perete. În discutarea îndoirii planare, curbe "umbrite", Clairaut a analizat în lucrarea recentă cu incomparabilul Isaac Newton.

Curbură matematică lui Newton măsurează tendinta curbei de se a îndoi aparte și de a fi o linie dreaptă. Cu cît mai mult curbele se îndoaie, cu atât mai mare este valoarea absolută a curburii sale. Din punctul de vedere al unui punct în mişcare de-a lungul curbei, curbura este pozitivă atunci când curba se îndoiește la stânga, şi negativă în cazul în care curba se îndoiește la dreapta. Dimensiunea de curbură este determinată de principiul cînd un cerc de rază R ar trebui să aibă curbură 1 / R. Cu cît mai mica e raza, cu atât mai mare e curbura. Figura 1 prezintă câteva exemple de arcuri circulare.

Figura 1: Curbura de-a lungul arcurilor circulare în plan

Noi adesea reprezintăm o curbă în plan într-o ecuaţie care implică coordonatele x şi y. Majoritatea studenţilor ce calculă, aduc aminte de o întâlnire scurtă și urâtă cu formula lui Newton pentru curbura unei curbe; formula folosește puterile fracţionale, precum şi derivaţii prime si secondare lui y cu privire la x. Din fericire, nu există nici o necesitate pentru noi să rostogolim acest idol crud și vechi. În loc de aceasta noi mai bine să ne gîndim la curbură ca la o noţiune primitivă şi să exprimăm curba într-un mod mai natural.

Ideea este ca in loc sa vorbim despre poziţiile relative la o axă arbitrară x şi axa y, ne gândim la curbă ca fiind un număr de curbe îndoite de sinestătător. Curba este marcată în unităţi de "lungimea arcului", în cazul în care lungimea arcului este distanţa măsurată de-a lungul curbei, la fel ca în cazul în care curba fost o bucată de frânghie pe care putem întinde pînă la un conducător.

În acest context, modul cel mai natural pentru a descrie o curbă simplă este o ecuaţie care dă curbura directă ca funcţie de lungimea arcului, o ecuaţie de forma kappa = f(s), în cazul în care s este lungimea arcului şi kappa este simbol commun folosit pentru curbură.Figura 2 prezinta doua curbe simple și celebre care au expresii simple pentru curbură ca o funcţie de lungimea arcului. Curba catenară este forma asumată de către un lanţ (sau cablu) și suspendat din două puncte, în timp ce spirala logaritmică este o formă foarte popular printre prietenii noştri moluşte.

Figura 2: Catenară şi spirala logaritmica exprimate de ecuaţii naturale, cu curbura kappa o funcţie de lungimea arcului s.

Reţineţi că pentru spirala, centrul este locul unde s atinge -1; daca sarim peste punctul central anormal şi ne ducem în jos mai mari valori negative ale lui, se va produce o imagine în oglindă a spiralei.

Ar fi minunat să ne gândim, de asemenea, despre curbele spaţiale într-un mod natural, coordinate liber — cu siguranţă acest lucru este modul în care musca ce zboară împrejurul unei cameră goale trebuie să se gândească. Cercetările matematice profunde au fost grel, şi a trcut o sută douăzeci de ani după Clairaut înainte de deschiderea modului corect a reprezentării curbei spaţiale de ecuaţii natural în sine, care a fost descoperit în cele din urmă de matematicieni francezi Joseph Alfred Serret şi Frederic-Jean Frenet.

Ideea este că, la fiecare punct de o curbă spaţială se poate defini două cantităţi numerice numite curbură şi torsiune. Curbura unei curbe spaţiale este esenţial aceeași ca și curbura unei curbe simple: ea măsoară cât de rapid curba se îndoaie într-o parte. Torsiune măsoară tendința curbei de a se răsuci dintr-un plan. Dar ce anume se înţelege prin "curba ce se îndoaie într-o parte" şi "de a se răsuci dintr-un plan"? Care plan?

Ideea este că, la fiecare punct P al unei curbe spaţiale puteţi defini trei vectori reciproci perpendicular unite în lungime: tangenta T, normala N, și binormala B. T arată direcţia în care se mişcă curba, N se află de-a lungul direcţie în care curba se îndoiește, şi B este un vector perpendicular referitor la T şi N. (În ceea ce priveşte produsul vectorului crucial, T încrucișează B și N, N care încucișează B este T, iar B care încrucișează T este N). Pentru curbe spațiale lucrăm în mod normal numai cu valori de curbură pozitive, şi au punctul N în direcţia în care curba este de fapt îndoită. (În anumite curbe analitice la care ne vom uita mai târziu, noi relaxăm această condiţie şi admitem curbură negativă ale curbelor spaţiale).

Luate împreună, T, N şi B fac parte din așa numită "mişcarea trihedronului în curbă spaţială". În figura 3 vom arăta o parte dintr-o curbă spaţială (de fapt, un helix) cu mai multe instanţe de trihedron în mişcare. Deci, de aceea că este mai uşor de vedea tridimensionalitatea imaginii, tragem curba ca o panglică parcă o scară răsucită. Curba merge pe margina de-a lungul scării, iar treptele scării corespund direcţiilor normalelor succesive la curbă.

Figura 3: trihedron în mişcare a curbei spaţiale: T tangenta, N normala, A şi B binormala.

Pentru a înţelege exact cum este definită normala, ajută să ne gândim la noţiunea de "atingere" (sărutare) a planului. La fiecare punct al unei curbe spaţiale există cîteva planuri care se potriveste cel mai bine curbei la punctual dat. Tangenta vectororului T se află în acest plan, iar direcţia perpendiculară spre T în acest plan deţine normala N. binormal este un vector perpendicular pe planul ce se atinge.

Cu ideea de trihedron în mișcare, putem numi acum măsurile ratei de curbură la care se transformă tangenta, precum şi măsurile ratei de torsiune la care se transformă binormala.

Reţineţi că T, N şi B sunt întotdeauna selectate astfel încât să formeze un sistem de coordonate pentru mina dreaptă. Acest lucru înseamnă că, dacă ţineţi degetul mare, degetul arătător şi degetul mijlociu de la mâna dreaptă, aceste direcţii corespund tangentei, normale și binormale.

Figura 4: Mîna dreapta ca un trihedron.

Aşa cum cercul este curba simplă caracterizată ca având curbura constanta, spirala este curba spaţială caracterizată ca având curbura constantă şi torsiune constantă. Figura 5 arată modul în care semnele de curbură şi torsiune afectează formele de curbe simple şi spaţiale.

Figura 5: Cum semnele de curbură şi torsiune afectează mişcarea unei curbe.

Acum să ne uităm la unele formule spaţiale similare formulelor simple care expun curbura unui cerc de rază R unde 1 / R. Închipuiți o spirală care se rotește în jurul unui cilindru — ca o viţă de vie crescută pe un băț. Fie R raza cilindrului, şi H reprezintă înălţime învîrtirii: distanţa verticală are nevoie de spirală pentru a face o învîrtire completă (şi pentru a face formula mai frumoasă, noi măsurăm înălţimea în unităţi 2*pi la fel de mare ca unităţi de măsură a R)

Dimensiunile de curbură şi torsiune pe o spirală cu rază R şi înălţime a învîrtirii H sunt date în două ecuaţii frumușele. Scriem "tau" pentru torsiune şi, ca şi mai înainte, "kappa" pentru curbură:

kappa = R / (R^2 + H^2), și
tau = H / (R^2 + H^2).

Este un exerciţiu interesant în algebra pentru a încerca de transformat aceste două ecuaţii în jur şi de a afla R şi H cu ajutorul lui kappa și tau. (Sugestie: Incepe prin calcul kappa ^2 + tau^2. Când aţi terminat, ecuaţiile noi a Dvs. v-or aminti foarte mult ca ecuaţiile originale).

Unele lucruri sunt iniţiale se observă dacă H este mult mai mic decât R, Dvs. veţi obţine o curbură aproximativ egală cu 1 / R, la fel ca pentru un cerc, si tau foarte aproape de 0.Dacă, pe de altă parte, R este foarte aproape de zero, atunci torsiunea este aproximativ de 1 / H, în timp ce curbura este aproape de 0. Un zbor care face un butoi de învartește în timp ce se deplasează aproape printr-o distanţă dreaptă de H are o torsiune de 1 / H. Cu atat mai repede ea se poate rula, cu atât mai mare este torsiunea ei.

Un fapt mai puţin evident este că, dacă ne uităm în jos pe un plan care arată toate combinaţiile posibile pozitive R şi H, liniile de curbură constantă se află pe semi-cercuri orizontale, în timp ce punctele reprezentă torsiune constante pe semi-cercuri verticale. Combinaţii de curbură şi torsiune obținute de la lățire stau de-a lungul unui sfert de cerc centrat pe origine. Se pare, că cele două familii de semi-cercuri sunt reciproc perpendiculare.

Figura 6: Linii de curbură constantă şi torsiune pentru combinatii de R şi H.

Să presupunem că avem o spirală ca un izvor de oţel. Ce se întâmplă cu curbură şi torsiune cînd întinde o întorsătură unică de ea fără detorsiunii? Să presupunem că raza iniţială a spiralei este A. Având în vedere faptul fizic că durata învîrtirii păstrează aceeaşi lungime, puteţi arăta că pe măsură ce se întinde, R^2 + H^2 ea va rămâne constantă la un valoarea lui A ^ 2, ceea ce corespunde unui cerc de rază A în jurul originii planului R-H. Pe măsură ce întindem o buclă cu raza particulară de pornire de 2, R şi valorile H se va muta de-a lungul liniei punctate cu albastru, ce a aratată în figura 6. Figura 7 arată cum câteva dintre poziţiile intermediare v-or arăta. Curbura este tranzacţionată în afara de torsiunii.

Figura 7: Întinderea curburii ce se transformă în torsiune.

Iată o altă problemă de algebra: Dacă ştiţi că R^2 + H^2 = A^2,  ce ne puteti spune despre suma  ppa^2 + tau^2?
Un fapt care pare ciudat la început este că curbură şi torsiune spiralei sunt dependente de dimensiunea spiralei. Dacă aţi făcut atât R cît şi H de cinci ori mai mare, faceti torsiune şi curbură 1 / 10 la fel de mare. Dacă aţi face R şi H N ori la fel de mare, v-eți face curbură şi torsiune 1 / (2 * N) la fel de mare.

Dar acest lucru are sens, dacă vă gândiţi la un zbor care trece de la o spirală mic pentru o elice mare, este într-adevăr schimba modul în care sa zbor, deci are sens ca şi Kappa Tau trebuie să se schimbe.

Figura 8: Schimbarea Curbură şi torsiune.

Această observaţie sugerează o modalitate simplă de a exprima diferenta dintre muştele şi păsările zboară — zbura cu curbură mult mai mare şi torsiune decât o fac păsările.Ţînţari, pentru care contează, zboară trasee chiar mai bine înnodate, şi au valori foarte mari de curbură şi torsiune.

La fel ca în avion, o curbă spatiu poate fi specificate în termeni de ecuaţii naturale, care dau curbură şi torsiune ca funcţii de arclength. Aceste ecuaţii au Kappa formularul = f (e) şi UTA = g (s). Forma şi mărimea curbei de spaţiu este unic determinat de curbură şi funcţiile de torsiune. Figurile 9 şi 10 arată două spaţiu intrigant curbe dat de curbură simplă şi funcţiile de torsiune.

Figura 9: rocker, cu Kappa natural ecuaţiile = 1 şi UTA = sine (arclength) kappa = sine (lungimea arcului) şi tau = 1

Figura 10: cablu de telefon, cu ecuaţiile naturale kappa = sine (lungimea arcului) şi tau = 1.

Ei bine, de fapt, am folosit kappa = 10 * sine (lungimea arcului) şi tau = 3 pentru a face ca imaginea să arate mai bine. Reţineţi că aceasta este o curbă spaţială în care ne permitem utilizarea valorilor negative pentru curbură.

Nu există literatură multă despre curbe "kappatau", de aceea am dat numele meu la aceste două: leagăn, şi cablul de telefon.

La un moment dat am crezut că a fost un mod corect de a reprezenta leagănulul ca cusătura pe o minge de tenis sau de baseball, dar e-mail primit de la marele matematician John Horton Conway care m-a în aceea că eu m-am înşelat. Conway face o conjectură antropologică că de fiecare data cînd un matematician descoperă o curbă pe care el sau ea crede că ar putea fi o adevarata curba de baseball, curba diferă.

O analiză a curbei cusaturei pe minge de baseball din lumea reală poate fi găsita lucrare publicată pe web "Designing A Baseball Cover by Richard Thompson of the Department of Mathematics, University of Arizona" [2]. Se pare că curba cusaturii mingii de baseball se bazează pe ceva atât de prozaic ca patentat în 1860 un stilou şi cerneală de desen de o formă simplă folosite pentru a tăia din piele o jumătate de minge de baseball, o formă obținuta prin încercare şi eroare. Thompson găseşte una destul de noduroasă formă asemănătoare cu această formă.

Nu numai leagănul meu nu reuşeste să se potrivească cu curba cusaturii mingii de baseball, asta se poate dovedi că curba rocker, în fapt, nu se află pe suprafaţa unei sfere (chiar dacă acesta arată un fel). Aceasta nu satisface condiţia următoare, necesară pentru condiția pe suprafaţa sferei, în cazul în care s reprezintă lungimea arcului (priviți [3]).

d/ds[(1/tau)*d/ds(1/kappa)] + tau*(1/kappa) = 0

(Pentru kappa = 1 și tau = sin(s), partea din stînga a acestei este sin(s), unde ea nu e egală cu 0.)

Estimările numerice indică faptul că lungimea arcului a leagănului are exact de două ori mai mare lungimea unui cerc de aceeaşi rază. Acest lucru sugerează o modalitate uşoară de a face un leagănul.Tăiaţi două annuli identice (cercuri groase) dintr-o hartie destul de rigidă (foi de album sunt bune pentru asta), tăiați fante radiale, uniți împreună două-fante margini lui annuli, îndoiţi annuli în două moduri diferite (unul ca spirala în direcția acelor de ceasornic şi unul ca o spirală întorsă invers direcției acelor de ceasornic) şi legați celelalte două margini-fante împreună, formând o fîșie continuă de lungime dublă. Deoarece un inel nu poate fi indoit de-a lungul planului de care se atinge, curbura formei este fixată de-a lungul lungimei arcului. Deoarece jumătate din fîșie este ca o spirală în direcția acelor de ceasornic şi jumătate este ca un ca spirala inversă direcției acelor de ceasornic, în cazul în care forma se relaxeaza, torsiunea probabilă variază în funcţie de lungime a arcului ca o funcţie de undă sinusoidală, care merge intre plus unu si minus unu. Torsiunea pare a fi zero la cele două locuri unde sunt fante inregistrate impreuna. Notați că nu am dovedit că leagănul meu hârtie empiric este acelaşi ca și leagănul mele matematic, aceasta este pur şi simplu presupunerea mea.

Figura 11: Făceți leagănul Dvs. propriu

  • Pentru a face leagănul, face o copie (mai mare) de Figura 11 pe hârtie rigidă.
  • Tăiaţi de-a lungul toate liniile solide.
  • Îndoiți de la marginea A la B * cu literele de pe aceeaşi parte.
  • Îndoiți două inele în partea opusă.
  • Legați marginea A * la marginea B cu literele de pe aceeaşi parte.

Cum au fost generate imaginile din figurile 9 şi 10 ? Ei folosesc un algoritm bazat pe formulele anului 1851 lui Serret şi Frenet. (Priviți pentru detalii, de exemplu, lucrarea clasică lui Struik [4]; notați faptul că această carte este acum disponibilă ca o retipărire ieftină de Dover.) Hadeți să expunem formula în formă "diferenţială". Întrebarea adresată de formulă este următoare: atunci când facem o mică deplasare ds de-a lungul unei curbe spaţiale, ce este deplasare dT, dN şi dB a vectorilor într-un trihedron în mişcare?

dT =( kappa*N )*ds
dN =( - kappa*T + tau*B )*ds
dB =( - tau*N )*ds

Ecuaţiile unu şi trei corespund, respectiv, definiţiilor de curbură şi torsiune. A doua ecuaţie descrie "reactive înapoiată" mișcărilor T şi B pe N.

Pentru a obţine claritale la ceea ce se înţelege prin mişcare (2), apucați degetul mare cu mîna stîngă şi faceți parcă aţi încerca să-l deşuruba din mâna Dvs. Aceasta este un fel de mişcare "cascandă", şi corespunde primei dintre cele trei formule lui Serret-Frenet: schimbarea în tangenta este egală cu numărul de curburi normale. Mișcarea (3) corespunde apucării degetului arătător cu mâna stângă şi încercării de a deşuruba degetul. Aceasta este un fel de de mişcare "rotitoare", şi corespunde a treei formule lui Serret-Frenet: schimbarea în binormală este negativă la numărul de torsiunu în normală.

În fantezie de zbor de-a lungul unei curbe spaţiale ar trebui să reziste în mod explicit gândurilor despre barci si avioane care au în idea sa un trihedron vizual care, în general, nu corespunde trihedronului în mişcare a curbei spaţiale. Dacă vreți să imaginați o maşină, imaginaţi-vă mai bine o rachetă care nu se incetineste si nu se accelereaza, care poate cîrni la stânga sau la dreapta — relativ pasagerului Dvs. — şi care poate să se învîrtească. Sau mai bine, imaginați că sunteți o muscă de casă cibernetică.

Un lucru interesant despre formulele Frenet-Serret constă în faptul că acestea destul de direct duc spre crearea simulării calculatorului numeric pentru a crea curbe spațiale kappatau cu curbura şi torsiunea arbitrară. Pentru a scrie cod într-o formă uşor de citit, vom crea o clasă Vector3 cu câteva metode la îndemână şi operatorii supraîncărcați. Idea generală a buclei algoritmului principal arată acest lucru:

P = P + ds * T; / / operator * (Real, Vector3) este supraîncărcat că să însemne produs scalar.

s = s + ds;

T = T + (kappa(s) * ds) * N; //Bend. + Este supraîncărcat că să însemne plus vector.

B = B + ( -tau(s) * ds) * N; //Twist.
T. Normaliza (); / / Vector3:: Normalizare () metodă face T au unitate de lungime.

B. Normaliza (); / / Faceți ca B să aibă unitate de lungime.
N = (T * B); / / operator * (Vector3, Vector3) este supraîncărcat că să însemne produs încrucișat.

Din ceea ce ştiu, foarte puţine lucrări matematice au avut de lucru cu curbele kappatau, deoarece în trecut, nimeni nu le putea vizualiza. Am implementat primul algoritmul ca un notebook Mathematic pentru Macintosh şi pentru maşinile Windows, iar apoi am scris un program Windows sinestătător numit Kaptau. Puteţi descărca oricare dintre aceste notebook-uri Mathematica sau programul pentru Windows dintr-o pagină de pe site-ul meu [5].

Revenind la primele două paragrafe acestei lucrări, ce poate un matematician spune despre modul în care o muscă zboară? Cred că muștele, în general, se mută de-a lungul cu o viteză constantă, în cazul în care trasare curbei spaţiale parametrizate cu lungimea arcului său, şi că acestea reuşesc să fie mai lente și să se accelereze departe de acolo prin diferite curburi şi torsiuni între valorile mici şi mari.

Figura 12: O curbă kappatau cu curbura ce variază ca o plimbare întîmplătoare.

Referințe:

  1. Morris Kline, Mathematical Thought From Ancient To Modern Times, Oxford U. Press, New York, 1972, p. 557.
  2. Richard Thompson, "Designing a Baseball Cover,, 1996.
  3. Yung-Chow Wong, "On An Explicit Characterization of Spherical Curves," Proceedings of the American Mathematical Society 34 (July, 1972), pp. 239-242.
  4. Dirk J. Struik, Lectures on Classical Differential Geometry, Addison-Wesley, Reading, Mass, 1961.
  5. Rudy Rucker, "Kappa Tau Curves Download Page", first posted 1997.